Semelhança de Polígonos

Introdução

    Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C

    Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a mesma forma, mas de tamanhos diferentes.
    Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes.
    Nessas figuras podemos identificar:
             AB        - distância entre A e B (comprimento do retângulo)
            CD         - distância entre C e D (largura do retângulo)
               -  ângulos agudos formados pelos segmentos 

   Medindo os segmentos de reta e  e os ângulos () das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

	m ()	m ()	ângulo
Fig. C	3,9 cm	1,3 cm	= 90º
Fig. B	4,5 cm	1,5 cm	= 90º
Fig. A	6,0 cm	2,0 cm	= 90º

    Observe que:

• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;
• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
                                              

    Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:

• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ;
• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
• os elementos das figuras são comuns.

        Outro exemplos de figuras semelhantes:

têm formas iguais e tamanhos diferente

Semelhança de Polígonos

Polígonos Semelhantes

    Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

    Observe que:

• os ângulos correspondentes são congruentes:
                          
• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
                          
                                              ou
                                 

    Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

   Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

   A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

    A razão de semelhança dos polígonos considerados é 

    Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.

Demonstração:

Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
          Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

    Exemplo:

• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.

          Solução
          Razão de semelhança = 

            

    Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.