Números Primos - (Escolar)

Um pouco de curiosidades históricas

No estudo dos números primos, nos deparamos, desde o começo, com mais um caso de diferença de significado de termo em relação ao uso corriqueiro da língua. Esse fato poderá ser observado na pergunta: “por que números primos”? Inicialmente nos vem à mente a ideia de parentesco. Porém, o termo primo, em matemática, não é utilizado para designar parentesco, e sim para indicar a ideia de primeiro. Isso significa dizer que, sendo os primos os primeiros, eles são os responsáveis por gerar os demais números naturais por meio da multiplicação. Dessa última afirmação, deduz-se que todos os números naturais não primos podem ser escritos como produtos de primos.

No livro IX da Teoria dos Números, além de vários outros teoremas interessantes, ganha destaque a proposição 20: “Números primos são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos”.Com essa afirmação, Euclides procurou provar elementarmente a ideia de infinidade dos números primos, mesmo que indiretamente.

A prova para a infinidade de números primos pode ser dada assim:

Vamos chamar “todos” os números primos de N, sendo N natural. Como N é natural e representa uma contagem, poderíamos enumerar todos os números primos (P) da seguinte maneira:

P₁, P₂, P₃, P₄,..., P_N.

Se considerarmos M o produto de todos os números primos, teríamos:

M = P₁ x P₂ x P₃ x P₄ x...x P_N

Ora, podemos verificar que M é maior que N e que M não é primo, pois ele é composto por “todos” os primos e “todos” os primos são dele divisores. Porém, se pegarmos M + 1, perceberemos que esse número é ainda maior que N e que ele não pode ser dividido por nenhum dos primos, inclusive P_N, pois sempre sobrará o resto 1. Desta forma, concluímos que P_N não pode ser o maior dos primos ou que existe um primo maior que P_N tal que M + 1 seja divisível por ele ou ainda que M + 1 é um número primo.

Atualmente, os números primos são calculados com a ajuda de computadores potentes, supermáquinas capazes de encontrar e armazenar os dados gerados em meses de trabalho. Em 2008, por exemplo, foi encontrado um número primo, na Universidade da Califórnia, com quase 13 milhões de algarismos. Por outro lado, num passado bastante remoto, os números primos não eram encontrados tão facilmente assim. Há cerca de 2300 anos, o matemático grego Eratóstenes criou um dispositivo que indicava se um número era primo ou não. Esse dispositivo ficou conhecido como Crivo de Eratóstenes.

No Crivo de Eratóstenes os primos eram encontrados da seguinte maneira: Escreve-se uma sequência de números naturais consecutivos, por exemplo, de 1 a 100. Risca-se o 1, pois ele não é primo. Separe o 2 e risque todos os múltiplos dele, pois como eles são divisíveis por 2, não são primos. Depois, separe o 3 e risque todos os múltiplos dele. Continue separando os números não riscados e riscando os seus múltiplos, até que só sobrem os números separados (primos).

Como sei se um número é primo?

Um número é primo quando possui apenas dois divisores: 1 e ele próprio. Por convenção, o número 1 não é primo, mesmo obedecendo ao critério anterior.  Os números maiores que 1 e que possuem mais que 2 divisores não são primos, são compostos.

Como afirmou Eratóstenes, se um número é múltiplo de outro então ele não é primo, e sim composto. Portanto, para sabermos se um número é primo ou não, devemos detectar se esse número é múltiplo de outro número. Para isso, podemos dividir esse número por primos conhecidos até que obtenhamos um quociente menor ou igual ao divisor. Se até esse ponto nenhuma divisão for exata, então esse número é primo.

Vamos verificar se o número 103 é primo.

Decomposição em fatores primos

Como afirmado anteriormente, todo número natural não primo é composto por fatores primos. Podemos decompor totalmente um número em fatores primos, sendo esse procedimento chamado de fatoração completa do número.

Vamos decompor o número 130 em fatores primos.

Para realizar essa tarefa, vamos dividir 130 por números primos divisores dele, sempre do menor primo ao maior, até obtermos quociente 1.

Veja que agora o número 130 foi escrito pelo produto de números primos.

Quais fatores primos compõem o número 700?

O número 700 é composto pelos primos 2 . 2 . 5 . 5 . 7 = 2² . 5² . 7.

Encontrando o m.m.c. e o m.d.c. pela decomposição em números primos

• Determine o m.m.c. dos números 8 e 24.

Feita a decomposição em fatores primos, basta multiplicar os divisores entre si: 2³ . 8 = 24.Conclui-se, portanto, que o menor múltiplo comum a 8 e 24 é 24.

• Encontre o maior divisor comum de 84 e 126.

Perceba que, à medida que a decomposição vai sendo feita, vamos separando os divisores comuns a ambos os números. Por exemplo: 2 dividiu 84 e 126; 3 dividiu 21 e 63; 7 dividiu 7 e 7.Após isso, basta multiplicar os divisores comuns entre si. O resultado é o m.d.c. Conclui-se, portanto, que o maior divisor comum a 84 e 126 é 42.

Exemplos dos números primos

Exemplos dos primeiros 1000 primos positivos - primos Naturais

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919...